📊 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒊 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆𝒍𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒆𝒔
La 𝒍𝒐𝒊 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍𝒆 fait partie des notions les plus importantes en probabilité.
Elle permet de répondre à une question très simple :
Quelle est la probabilité d’obtenir un certain nombre de succès lorsque l’on répète la même expérience plusieurs fois ?
On l’utilise lorsque chaque essai donne seulement 𝒅𝒆𝒖𝒙 𝒓𝒆́𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒕𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 :
✔ 𝑺𝒖𝒄𝒄𝒆̀𝒔 ou 𝒆́𝒄𝒉𝒆𝒄
✔ 𝑶𝒖𝒊 ou 𝒏𝒐𝒏
✔ 𝑷𝒊𝒍𝒆 ou 𝒇𝒂𝒄𝒆
✔ 𝑩𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒓𝒆́𝒑𝒐𝒏𝒔𝒆 ou 𝒎𝒂𝒖𝒗𝒂𝒊𝒔𝒆 𝒓𝒆́𝒑𝒐𝒏𝒔𝒆
La loi binomiale est donc très utile pour analyser des situations comme :
🪙 Le nombre de piles obtenues après plusieurs lancers d’une pièce
📝 Le nombre de bonnes réponses dans un test
📦 Le nombre d’articles défectueux dans une production
📧 Le nombre de personnes qui cliquent sur un lien envoyé par e-mail
🎯 Le nombre de clients qui répondent favorablement à une campagne
Pour appliquer correctement cette loi, quatre conditions sont essentielles :
✅ 𝑼𝒏 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒇𝒊𝒙𝒆 𝒅’𝒆𝒔𝒔𝒂𝒊𝒔
On doit connaître à l’avance le nombre total de répétitions, noté 𝒏.
✅ 𝑫𝒆𝒖𝒙 𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒖𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕
Chaque essai aboutit à un succès ou à un échec.
✅ 𝑫𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒔𝒂𝒊𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆́𝒑𝒆𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒔
Le résultat d’un essai ne doit pas influencer le résultat des autres.
✅ 𝑼𝒏𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕𝒆́ 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒄𝒄𝒆̀𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
La probabilité de succès, notée 𝒑, reste la même à chaque essai.
La formule générale est :
𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝑪(𝒏,𝒌) × 𝒑ᵏ × (𝟏 − 𝒑)ⁿ⁻ᵏ
Avec :
• 𝒏 : nombre total d’essais
• 𝒌 : nombre de succès recherchés
• 𝒑 : probabilité de succès
• 𝟏 − 𝒑 : probabilité d’échec
👉 𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 :
Si l’on lance une pièce équilibrée 10 fois, la loi binomiale permet de calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 piles, 5 piles ou même 10 piles.
C’est pourquoi cette loi est largement utilisée en :
• 𝑺𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
• 𝑺𝒄𝒊𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆́𝒆𝒔
• 𝑴𝒂𝒓𝒌𝒆𝒕𝒊𝒏𝒈
• 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐̂𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒊𝒕𝒆́
• 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒆𝒓𝒄𝒉𝒆 𝒔𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆
📌 𝑨̀ 𝒓𝒆𝒕𝒆𝒏𝒊𝒓 :
La 𝒍𝒐𝒊 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍𝒆 est la loi des expériences répétées avec deux issues possibles.
Elle permet de passer d’une simple intuition à un calcul précis de probabilité.
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