Statistical Models for Social Sciences

Combien de clients achèteront un produit ? Combien de personnes répondront « oui » à une enquête ? Combien de pièces seront défectueuses dans un lot ? Lorsque chaque observation possède uniquement deux issues — succès ou échec — la loi binomiale peut devenir votre meilleur outil. Si X désigne le nombre de succès obtenus au cours de n essais, alors : X ∼ B(n,p) où p représente la probabilité de succès à chaque essai. La probabilité d’obtenir exactement k succès est donnée par : P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ avec : C(n,k) = n!/[k!(n − k)!] 𝗤𝗨𝗔𝗡𝗗 𝗣𝗘𝗨𝗧-𝗢𝗡 𝗟’𝗨𝗧𝗜𝗟𝗜𝗦𝗘𝗥 ? Le nombre d’essais n est connu ; chaque essai comporte deux résultats possibles ; les essais sont indépendants ; la probabilité p reste identique. 𝗧𝗥𝗢𝗜𝗦 𝗥É𝗦𝗨𝗟𝗧𝗔𝗧𝗦 À 𝗥𝗘𝗧𝗘𝗡𝗜𝗥 Espérance : E(X) = np Variance : Var(X) = np(1 − p) Écart-type : σ = √[np(1 − p)] 𝗘𝗫𝗘𝗠𝗣𝗟𝗘 On lance une pièce équilibrée 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 5 faces ? P(X = 5) = C(10...

La méthode de Newton-Raphson est une technique numérique permettant de rechercher rapidement la solution d’une équation non linéaire. Son principe est simple : on part d’une valeur initiale, puis on améliore progressivement cette approximation en utilisant la pente de la fonction. La formule générale est : 𝗫ₙ₊₁ = 𝗫ₙ − 𝗳(𝗫ₙ) / 𝗳′(𝗫ₙ) Dans cette expression : • 𝗫ₙ représente l’estimation actuelle ; • 𝗳(𝗫ₙ) mesure l’écart par rapport à la solution recherchée ; • 𝗳′(𝗫ₙ) représente la pente de la fonction ; • 𝗫ₙ₊₁ est la nouvelle estimation obtenue. L’algorithme répète ce calcul jusqu’à ce que la différence entre deux estimations successives devienne suffisamment petite : |𝗫ₙ₊₁ − 𝗫ₙ| < ε où ε représente le niveau de précision souhaité. 𝗨𝗡𝗘 𝗜𝗡𝗧𝗘𝗥𝗣𝗥𝗘́𝗧𝗔𝗧𝗜𝗢𝗡 𝗚𝗘́𝗢𝗠𝗘́𝗧𝗥𝗜𝗤𝗨𝗘 À chaque étape, Newton-Raphson trace mentalement la tangente à la courbe au point actuel. L’intersection de cette tangente avec l’axe horizontal fournit une nouvelle approximation ...