📊 𝗟𝗮 𝗞𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 : 𝗰𝗼𝗺𝗺𝗲𝗻𝘁 𝗺𝗲𝘀𝘂𝗿𝗲𝗿 𝗹𝗲𝘀 𝘃𝗮𝗹𝗲𝘂𝗿𝘀 𝗲𝘅𝘁𝗿𝗲̂𝗺𝗲𝘀 𝗱’𝘂𝗻𝗲 𝗱𝗶𝘀𝘁𝗿𝗶𝗯𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 ?

En analyse de données, il ne suffit pas seulement de connaître la moyenne ou l’écart-type.

Il faut aussi comprendre la forme de la distribution.

Parmi les indicateurs importants, on retrouve la 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀.

🔎 𝗤𝘂’𝗲𝘀𝘁-𝗰𝗲 𝗾𝘂𝗲 𝗹𝗮 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 ?

La 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 mesure le degré de concentration des valeurs extrêmes dans une distribution.

Autrement dit, elle permet de savoir si les données présentent beaucoup ou peu de valeurs éloignées du centre.

Une 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 𝗲́𝗹𝗲𝘃𝗲́𝗲 signifie que la distribution possède des queues épaisses, donc davantage de valeurs extrêmes ou d’observations atypiques.

Une 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 𝗳𝗮𝗶𝗯𝗹𝗲 indique au contraire des queues plus légères, avec moins de valeurs extrêmes.

📌 𝗣𝗼𝘂𝗿𝗾𝘂𝗼𝗶 𝗰’𝗲𝘀𝘁 𝗶𝗺𝗽𝗼𝗿𝘁𝗮𝗻𝘁 ?

La kurtosis est très utile dans plusieurs domaines :

✅ en 𝗳𝗶𝗻𝗮𝗻𝗰𝗲, pour analyser les risques extrêmes ;
✅ en 𝗱𝗲́𝘁𝗲𝗰𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱’𝗮𝗻𝗼𝗺𝗮𝗹𝗶𝗲𝘀, pour repérer les observations atypiques ;
✅ en 𝘁𝗲𝘀𝘁𝘀 𝗱𝗲 𝗻𝗼𝗿𝗺𝗮𝗹𝗶𝘁𝗲́, pour vérifier si les données ressemblent à une distribution normale.

📐 𝗙𝗼𝗿𝗺𝘂𝗹𝗲 𝗱𝗲 𝗹𝗮 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀

Kurt[X] = E[(X - μ)⁴] / σ⁴

Avec :

μ = moyenne de la variable
σ⁴ = variance au carré
E[(X - μ)⁴] = moment centré d’ordre 4

Pour une 𝗱𝗶𝘀𝘁𝗿𝗶𝗯𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗻𝗼𝗿𝗺𝗮𝗹𝗲, la kurtosis est égale à 3.

On utilise souvent l’𝗲𝘅𝗰𝗲̀𝘀 𝗱𝗲 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 :

γ₂ = Kurt[X] - 3

Lorsque γ₂ = 0, la distribution est proche d’une distribution normale.

⚡ 𝗖𝗼𝗺𝗺𝗲𝗻𝘁 𝗶𝗻𝘁𝗲𝗿𝗽𝗿𝗲́𝘁𝗲𝗿 𝗹𝗮 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 ?

① 𝗬₂ < 0 : distribution 𝗽𝗹𝗮𝘁𝘆𝗰𝘂𝗿𝘁𝗶𝗾𝘂𝗲
Les queues sont légères et les valeurs extrêmes sont moins fréquentes.

② 𝗬₂ = 0 : distribution 𝗺𝗲́𝘀𝗼𝗰𝘂𝗿𝘁𝗶𝗾𝘂𝗲
La distribution ressemble à une loi normale.

③ 𝗬₂ > 0 : distribution 𝗹𝗲𝗽𝘁𝗼𝗰𝘂𝗿𝘁𝗶𝗾𝘂𝗲
Les queues sont épaisses et les valeurs extrêmes sont plus fréquentes.

④ Plus la kurtosis est élevée, plus les événements extrêmes sont probables par rapport à une distribution normale.

🧐 𝗗𝗶𝗳𝗳𝗲́𝗿𝗲𝗻𝗰𝗲 𝗲𝗻𝘁𝗿𝗲 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 𝗲𝘁 𝘀𝗸𝗲𝘄𝗻𝗲𝘀𝘀

La 𝘀𝗸𝗲𝘄𝗻𝗲𝘀𝘀 mesure l’asymétrie d’une distribution.

Elle permet de savoir si la distribution est étirée vers la gauche ou vers la droite.

La 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀, quant à elle, mesure l’importance des valeurs extrêmes dans les queues de la distribution.

En résumé :

𝗦𝗸𝗲𝘄𝗻𝗲𝘀𝘀 = asymétrie
𝗞𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 = valeurs extrêmes

Une distribution peut donc être symétrique tout en ayant une kurtosis élevée.

🎯 𝗤𝘂𝗮𝗻𝗱 𝘂𝘁𝗶𝗹𝗶𝘀𝗲𝗿 𝗹𝗮 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 ?

On l’utilise notamment lorsque l’on veut :

✅ analyser les rendements financiers ;
✅ identifier les données susceptibles de contenir des valeurs extrêmes ;
✅ vérifier les hypothèses de normalité ;
✅ choisir un modèle statistique adapté aux caractéristiques des données.

📌 𝗔̀ 𝗿𝗲𝘁𝗲𝗻𝗶𝗿

La 𝗸𝘂𝗿𝘁𝗼𝘀𝗶𝘀 ne mesure pas simplement si une courbe est pointue ou plate.
Elle renseigne surtout sur la présence de valeurs extrêmes dans une distribution.

C’est donc un indicateur essentiel pour mieux comprendre la structure des données avant toute modélisation statistique.

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