𝑹² 𝒐𝒖 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒅𝒆́𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 : 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒆́𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒊𝒕𝒆́ 𝒅’𝒖𝒏 𝒎𝒐𝒅𝒆̀𝒍𝒆 ?

Le 𝑹², aussi appelé 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒅𝒆́𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏, est un indicateur qui permet de mesurer la part de la variation d’une variable dépendante expliquée par un modèle.

Autrement dit, il répond à une question simple :

𝑸𝒖𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆 𝒀 𝒆𝒔𝒕 𝒆𝒙𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆́𝒆 𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒖 𝒎𝒐𝒅𝒆̀𝒍𝒆 ?

Par exemple, si 𝑹² = 𝟎,𝟖𝟎, cela signifie que le modèle explique 𝟖𝟎 % 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 observée dans les données.

Les 𝟐𝟎 % restants correspondent à la partie non expliquée par le modèle, c’est-à-dire aux erreurs, aux facteurs non observés ou aux variations aléatoires.

𝑳𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒆 𝒅𝒖 𝑹²

R² = 1 − SS_res / SS_tot

Avec :

SS_res : somme des carrés des résidus, c’est-à-dire les erreurs de prédiction
SS_tot : somme totale des carrés, c’est-à-dire la variation totale autour de la moyenne
ŷᵢ : valeur prédite
yᵢ : valeur observée
ȳ : moyenne des valeurs observées

𝑪𝒐𝒎𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆́𝒕𝒆𝒓 𝑹² ?

𝑹² = 𝟏 : le modèle explique parfaitement les données.
𝑹² = 𝟎,𝟗𝟎 : le modèle explique 90 % de la variation, ce qui indique un très bon ajustement.
𝑹² = 𝟎,𝟓𝟎 : le modèle explique la moitié de la variation, ce qui traduit un ajustement modéré.
𝑹² proche de 𝟎 : le modèle explique très peu la variation de la variable étudiée.

Mais attention : un 𝑹² élevé ne signifie pas automatiquement que le modèle est bon.

Il faut aussi vérifier :

𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕𝒆́ 𝒅𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒔,
𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒉𝒆́𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒆́𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒖 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆,
𝒍𝒆𝒔 𝒓𝒆́𝒔𝒊𝒅𝒖𝒔,
𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒄𝒐𝒍𝒊𝒏𝒆́𝒂𝒓𝒊𝒕𝒆́,
et 𝒍𝒆 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕.

𝑹² 𝒗𝒔 𝑹² 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆́

Le 𝑹² classique augmente souvent lorsqu’on ajoute de nouvelles variables au modèle, même si ces variables n’apportent pas réellement d’information utile.

C’est pourquoi on utilise souvent le 𝑹² 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆́.

Le 𝑹² ajusté pénalise l’ajout inutile de variables. Il peut diminuer si une nouvelle variable n’améliore pas suffisamment le modèle.

Il est donc particulièrement utile lorsque l’on compare plusieurs modèles avec un nombre différent de variables explicatives.

𝑸𝒖𝒂𝒏𝒅 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒆𝒓 𝑹² ?

Le 𝑹² est surtout utilisé dans les modèles de 𝒓𝒆́𝒈𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆́𝒂𝒊𝒓𝒆 avec une variable dépendante quantitative continue.

Pour les modèles de classification, les modèles non linéaires ou les problèmes de prédiction avancée, il faut souvent utiliser d’autres indicateurs comme :

𝒍𝒆 𝑹𝑴𝑺𝑬,
𝒍𝒆 𝑴𝑨𝑬,
𝒍’𝒂𝒄𝒄𝒖𝒓𝒂𝒄𝒚,
𝒍𝒆 𝑭𝟏-𝒔𝒄𝒐𝒓𝒆,
ou 𝒍’𝑨𝑼𝑪.

𝑰𝒅𝒆́𝒆 𝒄𝒍𝒆́ :
Le 𝑹² indique la proportion de la variation expliquée par le modèle, mais il ne suffit jamais à lui seul pour juger la qualité complète d’une analyse.

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