𝑷𝒐𝒖𝒓𝒒𝒖𝒐𝒊 𝒍’𝒂𝒏𝒂𝒍𝒚𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒓𝒆́𝒔𝒊𝒅𝒖𝒔 𝒆𝒔𝒕 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒕 𝒆𝒏 𝒆́𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆́𝒕𝒓𝒊𝒆 📊

Construire un modèle de régression ne suffit pas.

Le vrai enjeu est ailleurs : 𝐩𝐞𝐮𝐭-𝐨𝐧 𝐟𝐚𝐢𝐫𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐟𝐢𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐚𝐮𝐱 𝐫𝐞́𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐭𝐬 ?

C’est précisément pour répondre à cette question que l’on s’intéresse aux 𝐫𝐞́𝐬𝐢𝐝𝐮𝐬.

Un résidu correspond simplement à l’écart entre la valeur observée et la valeur prédite par le modèle :

𝐑𝐞́𝐬𝐢𝐝𝐮 = 𝐕𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐞́𝐞 − 𝐕𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝐩𝐫𝐞́𝐝𝐢𝐭𝐞

Dans un bon modèle, les résidus doivent se comporter comme un bruit aléatoire.
S’ils révèlent au contraire une structure, une tendance ou un schéma particulier, cela signifie souvent que quelque chose ne va pas dans la spécification du modèle.

𝐏𝐨𝐮𝐫𝐪𝐮𝐨𝐢 𝐥’𝐚𝐧𝐚𝐥𝐲𝐬𝐞 𝐝𝐞𝐬 𝐫𝐞́𝐬𝐢𝐝𝐮𝐬 𝐞𝐬𝐭-𝐞𝐥𝐥𝐞 𝐬𝐢 𝐢𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 ?

Parce qu’elle permet de vérifier si les hypothèses du modèle de régression sont réellement respectées.

Quand ces hypothèses échouent, les conséquences peuvent être sérieuses :

✅ coefficients mal interprétés
✅ erreurs standards biaisées
✅ intervalles de confiance peu fiables
✅ tests d’hypothèses trompeurs
✅ décisions fondées sur un modèle statistiquement fragile

En pratique, l’analyse des résidus aide notamment à :

𝐝𝐞́𝐭𝐞𝐜𝐭𝐞𝐫 𝐮𝐧𝐞 𝐦𝐚𝐮𝐯𝐚𝐢𝐬𝐞 𝐬𝐩𝐞́𝐜𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧
𝐢𝐝𝐞𝐧𝐭𝐢𝐟𝐢𝐞𝐫 𝐥’𝐡𝐞́𝐭𝐞́𝐫𝐨𝐬𝐜𝐞́𝐝𝐚𝐬𝐭𝐢𝐜𝐢𝐭𝐞́
𝐯𝐞́𝐫𝐢𝐟𝐢𝐞𝐫 𝐥𝐚 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥𝐢𝐭𝐞́ 𝐝𝐞𝐬 𝐞𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫𝐬
𝐝𝐞́𝐭𝐞𝐜𝐭𝐞𝐫 𝐥’𝐚𝐮𝐭𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞́𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧
𝐫𝐞𝐩𝐞́𝐫𝐞𝐫 𝐥𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫𝐬 𝐚𝐛𝐞𝐫𝐫𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐞𝐭 𝐥𝐞𝐬 𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐢𝐧𝐟𝐥𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞 𝟏 : 𝐥’𝐡𝐞́𝐭𝐞́𝐫𝐨𝐬𝐜𝐞́𝐝𝐚𝐬𝐭𝐢𝐜𝐢𝐭𝐞́

Imaginons un modèle qui explique le prix d’un logement à partir du revenu, de la localisation et de la taille.

Après estimation, on observe que les logements peu chers ont de petits résidus, tandis que les logements plus chers présentent des résidus beaucoup plus dispersés.

Ce type de graphique en forme d’entonnoir suggère une hétéroscédasticité, c’est-à-dire une variance des erreurs non constante.

👉 Conséquence : les erreurs standards deviennent biaisées, ce qui fragilise les tests statistiques.

Parmi les tests souvent utilisés, on retrouve :

𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐞 𝐁𝐫𝐞𝐮𝐬𝐜𝐡-𝐏𝐚𝐠𝐚𝐧
𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐞 𝐖𝐡𝐢𝐭𝐞

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞 𝟐 : 𝐥’𝐚𝐮𝐭𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞́𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐞𝐧 𝐬𝐞́𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐭𝐞𝐦𝐩𝐨𝐫𝐞𝐥𝐥𝐞𝐬

Prenons maintenant un modèle économétrique qui cherche à prédire la croissance trimestrielle du PIB.

Si les résidus d’un trimestre sont corrélés à ceux des trimestres précédents, alors le modèle souffre d’autocorrélation.

👉 Conséquence :

• les coefficients peuvent rester non biaisés ;
• mais les erreurs standards deviennent peu fiables.

Le test le plus connu dans ce cas est :

𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐞 𝐃𝐮𝐫𝐛𝐢𝐧-𝐖𝐚𝐭𝐬𝐨𝐧

𝐋𝐞𝐬 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 𝐞𝐬𝐬𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐥𝐬 𝐚̀ 𝐯𝐞́𝐫𝐢𝐟𝐢𝐞𝐫 𝐝𝐚𝐧𝐬 𝐥𝐞𝐬 𝐫𝐞́𝐬𝐢𝐝𝐮𝐬

Voici quelques contrôles incontournables :

𝟏. 𝐋𝐢𝐧𝐞́𝐚𝐫𝐢𝐭𝐞́
Les résidus ne doivent pas présenter de structure systématique.

𝟐. 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
La dispersion des résidus doit rester globalement stable.

𝟑. 𝐍𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥𝐢𝐭𝐞́ 𝐝𝐞𝐬 𝐞𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫𝐬
Importante pour la validité des intervalles de confiance et des tests.

𝟒. 𝐈𝐧𝐝𝐞́𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐝𝐞𝐬 𝐞𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫𝐬
Les résidus ne doivent pas être corrélés entre eux.

𝟓. 𝐕𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫𝐬 𝐚𝐛𝐞𝐫𝐫𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐞𝐭 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 𝐢𝐧𝐟𝐥𝐮𝐞𝐧𝐭𝐬
On peut les détecter avec des outils comme le leverage ou la distance de Cook.

𝐔𝐧 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭 𝐜𝐥𝐞́ 𝐚̀ 𝐫𝐞𝐭𝐞𝐧𝐢𝐫

Un modèle peut afficher un 𝐑² élevé et pourtant être statistiquement peu fiable si les diagnostics résiduels ne sont pas satisfaisants.

En pratique, l’analyse des résidus permet souvent de révéler :

𝐝𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐨𝐦𝐢𝐬𝐞𝐬
𝐮𝐧𝐞 𝐦𝐚𝐮𝐯𝐚𝐢𝐬𝐞 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐞 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧𝐧𝐞𝐥𝐥𝐞
𝐝𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐧𝐨𝐧 𝐥𝐢𝐧𝐞́𝐚𝐢𝐫𝐞𝐬
𝐝𝐞𝐬 𝐩𝐫𝐨𝐛𝐥𝐞̀𝐦𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐪𝐮𝐚𝐥𝐢𝐭𝐞́ 𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐨𝐧𝐧𝐞́𝐞𝐬

Autrement dit, elle transforme une simple régression en une modélisation statistique réellement robuste.

𝐀̀ 𝐫𝐞𝐭𝐞𝐧𝐢𝐫

En statistique appliquée et en économétrie, 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐩𝐫𝐞́𝐭𝐞𝐫 𝐥𝐞𝐬 𝐫𝐞́𝐬𝐢𝐝𝐮𝐬 𝐞𝐬𝐭 𝐚𝐮𝐬𝐬𝐢 𝐢𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭 𝐪𝐮𝐞 𝐝’𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐩𝐫𝐞́𝐭𝐞𝐫 𝐥𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐬.

Un modèle n’est pas seulement bon parce qu’il ajuste bien les données.
Il doit aussi respecter les conditions qui rendent ses conclusions crédibles.

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