𝐓𝐞𝐬𝐭𝐬 𝐝’𝐇𝐲𝐩𝐨𝐭𝐡𝐞̀𝐬𝐞 : 𝐑𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 𝐝𝐞 𝐕𝐫𝐚𝐢𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐞𝐭 𝐏𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐞́𝐬 𝐝’𝐄𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫
Le 𝐭𝐞𝐬𝐭 𝐝’𝐡𝐲𝐩𝐨𝐭𝐡𝐞̀𝐬𝐞 est
formalisé comme une règle de décision qui met en balance les preuves entre deux
affirmations concurrentes.
Le 𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐮 𝐑𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 𝐝𝐞 𝐕𝐫𝐚𝐢𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐚𝐧𝐜𝐞 (𝐋𝐑𝐓) est souvent
considéré comme le « moteur » de l’inférence fréquentiste, car il fournit une
méthode systématique pour construire des tests puissants.
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𝟏. 𝐋𝐞
𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐮
𝐑𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 𝐝𝐞
𝐕𝐫𝐚𝐢𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐚𝐧𝐜𝐞 (𝐋𝐑𝐓)
Le LRT
compare la capacité des données à être expliquées par :
- un modèle
restreint (l’𝐇𝐲𝐩𝐨𝐭𝐡𝐞̀𝐬𝐞 𝐍𝐮𝐥𝐥𝐞, 𝐇₀)
- un modèle
non restreint (l’ensemble de l’espace des paramètres, Θ)
𝐋𝐚 𝐒𝐭𝐚𝐭𝐢𝐬𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞 (λ)
La
statistique du rapport de vraisemblance est définie comme le rapport entre :
- 🔹 Numérateur : la vraisemblance maximale sous 𝐇₀
- 🔹 Dénominateur : la vraisemblance maximale sur tout l’espace des paramètres
- 🔹 Intervalle : 0 ≤ λ ≤ 1
- 🔹 Décision : une petite valeur de λ
indique que 𝐇₀ est
nettement moins plausible que l’alternative → on rejette 𝐇₀.
𝐓𝐡𝐞́𝐨𝐫𝐞̀𝐦𝐞 𝐝𝐞 𝐖𝐢𝐥𝐤𝐬 (𝐃𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐀𝐬𝐲𝐦𝐩𝐭𝐨𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞)
Dans de
nombreux cas, la distribution exacte de λ est
difficile à déterminer.
Cependant, pour les grands échantillons (n → ∞), la statistique :
−2 ln(λ)
suit une loi
du Khi-deux (χ²).
𝟐. 𝐏𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐞́𝐬
𝐝’𝐄𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 𝐞𝐭
𝐏𝐮𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐜𝐞
Lorsqu’on réalise un test
statistique, deux types d’erreurs sont possibles :
𝐄𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐞
𝐓𝐲𝐩𝐞 𝐈
(𝐟𝐚𝐮𝐱 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐟)
On rejette 𝐇₀ alors
qu’elle est vraie.
Sa probabilité est notée α.
𝐄𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐞 𝐓𝐲𝐩𝐞 𝐈𝐈 (𝐟𝐚𝐮𝐱 𝐧𝐞́𝐠𝐚𝐭𝐢𝐟)
On ne
rejette pas 𝐇₀ alors
qu’elle est fausse.
Sa probabilité est notée β.
𝐋𝐚 𝐏𝐮𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐝𝐮 𝐓𝐞𝐬𝐭
La puissance
correspond à :
𝟏 − β
C’est la
probabilité de rejeter correctement une hypothèse nulle fausse.
Un « bon » test cherche à minimiser α tout en
maximisant la puissance pour un α donné.
𝟑. 𝐋𝐞
𝐋𝐞𝐦𝐦𝐞 𝐝𝐞
𝐍𝐞𝐲𝐦𝐚𝐧-𝐏𝐞𝐚𝐫𝐬𝐨𝐧
Ce résultat
constitue le théorème fondamental d’existence des tests d’hypothèse.
Il affirme
que pour tester :
- 𝐇₀ : θ = θ₀
contre - 𝐇₁ : θ = θ₁
(le cas d’hypothèses simples)
👉 𝐥𝐞 𝐓𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐮
𝐑𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭 𝐝𝐞
𝐕𝐫𝐚𝐢𝐬𝐞𝐦𝐛𝐥𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐥𝐞
𝐭𝐞𝐬𝐭 𝐮𝐧𝐢𝐟𝐨𝐫𝐦𝐞́𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐥𝐞
𝐩𝐥𝐮𝐬 𝐩𝐮𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭 (𝐔𝐌𝐏).
Autrement
dit, pour un niveau α fixé, aucun autre test ne peut
obtenir une probabilité d’erreur de type II plus faible que le LRT.
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