Économétrie des données de panel: de la théorie à la pratique

 📈 𝗟𝗮 𝗙𝗼𝗻𝗰𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗟𝗼𝗴𝗶𝘀𝘁𝗶𝗾𝘂𝗲 : 𝗹’𝗼𝘂𝘁𝗶𝗹 𝗱𝗲𝗿𝗿𝗶è𝗿𝗲 𝗹’𝗜𝗔 𝗲𝘁 𝗹𝗲𝘀 𝘀𝘁𝗮𝘁𝗶𝘀𝘁𝗶𝗾𝘂𝗲𝘀

𝐐𝐮’𝐞𝐬𝐭-𝐜𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐜’𝐞𝐬𝐭 ?
Une fonction en forme de S utilisée pour modéliser des phénomènes de croissance, de probabilité ou de classification.

𝙐𝙣 𝙡𝙞𝙠𝙚 𝙚𝙩 𝙪𝙣 𝙋𝙖𝙧𝙩𝙖𝙜𝙚 de ce post avant d'aller plus loin nous feront plaisir.

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Elle est définie par :
$\mathrm{Une\; fonction\; en\; <strong\; data-end="324"\; data-start="310">forme\; de\; S</strong>\; utilisée\; pour\; modéliser\; des\; phénomènes\; de\; croissance,\; de\; probabilité\; ou\; de\; classification.<br\; data-end="418"\; data-start="415">\; Elle\; est\; définie\; par\; :<br\; data-end="443"\; data-start="440">\; <strong\; data-end="470"\; data-start="443">f(x)\; =\; 1\; /\; (1\; +\; e^(-x))\; et\; varie\; toujours\; entre <strong\; data-end="502"\; data-start="497"\; style="display:\; inline\; !important;">0 </strong>et <strong\; data-end="511"\; data-start="506"\; style="display:\; inline\; !important;">1</strong>.</strong><o:p></o:p>}$

𝐂𝐚𝐫𝐚𝐜𝐭𝐞́𝐫𝐢𝐬𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞𝐬 𝐜𝐥𝐞́𝐬 :
✅ Dérivée : f'(x) = f(x) * (1 - f(x))
✅ Forme équivalente : f(x) = 0.5 * (1 + tanh(x / 2))
✅ Primitive : ∫ f(x) dx = ln(1 + e^x)

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𝐄𝐧 𝐏𝐲𝐭𝐡𝐨𝐧 :
Quelques lignes de code avec NumPy et Matplotlib suffisent pour tracer plusieurs courbes selon le paramètre $k$, qui contrôle la pente :

from matplotlib import pyplot as plt

import numpy as np

# définition de la fonction logistique

def logistic(x, k):

    return 1 / (1 + np.exp(-k * x))

xs = np.linspace(-10, 10, 200)

ks = [1, .5, 1, 2, 10]

for k in ks:

    ys = logistic(xs, k)

    plt.plot(xs, ys, label=f'k={k}', lw=2.5)

plt.title(r'$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-kx}}$', fontsize=18)

plt.legend()

plt.show()

💡 Cette fonction est au cœur des réseaux neuronaux, de la régression logistique et de nombreux modèles prédictifs.

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#MachineLearning #IA #DataScience #Mathématiques #Python

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