🔵 𝐋𝐞𝐬 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐓𝐚𝐲𝐥𝐨𝐫 : 𝐔𝐧 𝐩𝐮𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭 𝐨𝐮𝐭𝐢𝐥 𝐩𝐨𝐮𝐫 𝐥'𝐚𝐧𝐚𝐥𝐲𝐬𝐞, 𝐥'𝐨𝐩𝐭𝐢𝐦𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐞𝐭 𝐥'𝐚𝐩𝐩𝐫𝐞𝐧𝐭𝐢𝐬𝐬𝐚𝐠𝐞 𝐚𝐮𝐭𝐨𝐦𝐚𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞

Les 𝐬é𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐓𝐚𝐲𝐥𝐨𝐫 permettent d’approximer des fonctions complexes par des polynômes, ce qui les rend particulièrement utiles en 𝐚𝐩𝐩𝐫𝐞𝐧𝐭𝐢𝐬𝐬𝐚𝐠𝐞 𝐚𝐮𝐭𝐨𝐦𝐚𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞, 𝐨𝐩𝐭𝐢𝐦𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 et 𝐚𝐧𝐚𝐥𝐲𝐬𝐞 𝐧𝐮𝐦é𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞.

En exprimant une fonction comme une somme infinie de termes issus de ses dérivées, les approximations de Taylor facilitent les calculs et améliorent l'efficacité computationnelle. Une approximation d’ordre 1 (linéaire) décrit le comportement local, tandis que les ordres supérieurs (quadratique, cubique...) offrent une précision accrue en tenant compte de la courbure.

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✅ 𝐀𝐯𝐚𝐧𝐭𝐚𝐠𝐞𝐬 :

✔️ 𝐀𝐜𝐜é𝐥è𝐫𝐞 𝐥'𝐨𝐩𝐭𝐢𝐦𝐢𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 en affinant les approximations des fonctions de perte
✔️ 𝐀𝐦é𝐥𝐢𝐨𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐭𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭é 𝐧𝐮𝐦é𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 dans les algorithmes par gradient
✔️ 𝐒𝐨𝐮𝐭𝐢𝐞𝐧 𝐚𝐮𝐱 𝐦𝐞𝐭𝐡𝐨𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭 (ordre 1) et à 𝐥'𝐚𝐥𝐠𝐨𝐫𝐢𝐭𝐡𝐦𝐞 𝐝𝐞 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 (ordre 2)
✔️ 𝐀𝐧𝐚𝐥𝐲𝐬𝐞 𝐝𝐮 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬, convexité et points critiques
✔️ 𝐏𝐞𝐫𝐦𝐞𝐭 𝐝'𝐚𝐩𝐩𝐫𝐨𝐱𝐢𝐦𝐞𝐫 𝐥𝐞𝐬 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐧𝐨𝐧 𝐥𝐢𝐧é𝐚𝐢𝐫𝐞𝐬 et les fonctions de perte en deep learning

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❌ 𝐋𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞𝐬 :

❌ 𝐍é𝐜𝐞𝐬𝐬𝐢𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐝𝐢𝐟𝐟é𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭é : les fonctions non différentiables exigent d'autres méthodes
❌ 𝐂𝐨û𝐭 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐧𝐞𝐥 croissant avec l’ordre d’approximation
❌ 𝐃𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞 en dehors de l’intervalle de convergence, surtout pour les fonctions à singularité

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📊 Illustration :

L’image ci-dessous montre une approximation de Taylor d’ordre 2.
La surface d’origine est représentée en gris, tandis que la surface orange montre l’approximation quadratique.
📌 Source Wikipédia 

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🔧 𝐈𝐦𝐩𝐥é𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 :

🔹 𝐄𝐧 𝐑 : Ryacas (développement symbolique), pracma (différenciation numérique), optim() (optimisation ordre 1 & 2)
🔹 𝐄𝐧 𝐏𝐲𝐭𝐡𝐨𝐧 : sympy (série de Taylor), scipy.optimize, torch.autograd (PyTorch), jax.grad (JAX) pour la différenciation automatique

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