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Le 𝐭𝐡é𝐨𝐫è𝐦𝐞 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚𝐥 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 (𝐓𝐂𝐋) est un concept fondamental en statistique, aux applications multiples. Il stipule que la distribution des moyennes d’échantillons tend vers une distribution gaussienne (distribution normale) à mesure que la taille d’échantillon augmente, et ce, 𝐪𝐮𝐞𝐥𝐥𝐞 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐨𝐢𝐭 la distribution d’origine de la population. C’est un élément crucial pour tirer des conclusions sur une population à partir de données d’échantillon.

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Comprendre le TCL peut considérablement améliorer vos compétences en analyse de données, en fournissant une base solide pour les tests d’hypothèses et l’estimation d’intervalles de confiance. Il présente toutefois certaines limites :

• ❌ 𝕿𝖆𝖎𝖑𝖑𝖊 𝖉’é𝖈𝖍𝖆𝖓𝖙𝖎𝖑𝖑𝖔𝖓: Le TCL requiert un échantillon suffisamment grand. De petits échantillons peuvent ne pas produire de résultats précis.
• ❌ 𝕴𝖓𝖉é𝖕𝖊𝖓𝖉𝖆𝖓𝖈𝖊: Les échantillons doivent être indépendants. Si les données sont dépendantes, les résultats peuvent être faussés.
• ❌ 𝕯𝖎𝖘𝖙𝖗𝖎𝖇𝖚𝖙𝖎𝖔𝖓 𝖎𝖉𝖊𝖓𝖙𝖎𝖖𝖚𝖊: Les échantillons doivent provenir de la même distribution. (Remarque : ceci s’applique au TCL classique (Lindeberg-Levy), mais d’autres versions, comme Lyapunov ou Lindeberg-Feller, assouplissent cette condition.)

Malgré ces inconvénients, le TCL reste extrêmement utile. Voici pourquoi :

• ✔️ 𝖀𝖓𝖎𝖛𝖊𝖗𝖘𝖆𝖑𝖎𝖙é: Il s’applique à une grande variété de distributions, le rendant polyvalent pour de nombreux jeux de données.
• ✔️ 𝕻𝖗é𝖉𝖎𝖈𝖙𝖎𝖇𝖎𝖑𝖎𝖙é: Avec un échantillon suffisamment grand, les prédictions sur les paramètres de la population gagnent en précision.
• ✔️ 𝕾𝖎𝖒𝖕𝖑𝖎𝖈𝖎𝖙é: Il simplifie des problèmes complexes, permettant aux statisticiens et data scientists d’exploiter les propriétés de la loi normale pour leurs analyses.

La 𝕧𝕚𝕤𝕦𝕒𝕝𝕚𝕤𝕒𝕥𝕚𝕠𝕟 𝕛𝕠𝕚𝕟𝕥𝕖, inspirée d’une image Wikipédia illustre comment, 𝕚𝕟𝕕é𝕡𝕖𝕟𝕕𝕒𝕞𝕞𝕖𝕟𝕥 de la distribution de la population, la distribution de l’échantillon tend vers une forme gaussienne. La dispersion est décrite par le théorème central limite, témoignant de sa grande robustesse.

En tirant parti du théorème central limite, vous pouvez renforcer vos capacités analytiques et prendre des décisions plus fiables à partir de données d’échantillon.

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