📊 𝐄𝐱𝐩𝐥𝐨𝐫𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞𝐬 𝐌𝐨𝐝è𝐥𝐞𝐬 𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐞𝐥𝐬 𝐀𝐮𝐭𝐨𝐫𝐞𝐠𝐫𝐞𝐬𝐬𝐢𝐟𝐬 (𝐕𝐀𝐑) 𝐞𝐭 à 𝐂𝐨𝐫𝐫𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝'𝐄𝐫𝐫𝐞𝐮𝐫 (𝐕𝐄𝐂) : 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐩𝐫é𝐭𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞𝐬 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐬

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Les modèles vectoriels autoregressifs (VAR) sont mathématiquement définis comme suit. Considérons un VAR(p) avec A1, A2,…,Ap sont les matrices de coefficients autoregressifs

Yt=A1Yt-1+A2Yt-2+…+AtYt-p+ ε(t)

Chaque élément Yit du vecteur Yt épend de ses propres valeurs passées et des valeurs passées des autres variables, déterminées par les matrices Ai Le terme d'erreur ε(t) représente le bruit aléatoire.

Les modèles à correction d'erreur (VEC) introduisent le concept de cointégration. Considérons un système VEC(r) avec k variables, où B1, B2,…, Br sont les matrices de coefficients de cointégration. Le terme de correction d'erreur (ECM) est également inclus.

D(Yt)=B1D(Yt-1)+B2D(Yt-2)+…+D(Yt-r)+ α ECMt-1+ ε(t)

ECMt-1=yt-1+pi Yt-1 Ici, Pi est la matrice des coefficients de cointégration et α est le vecteur des coefficients de correction d'erreur. Les modèles VEC permettent de capturer les relations de long terme entre les variables, modélisant ainsi les ajustements vers l'équilibre.

1. 𝓜𝓸𝓭è𝓵𝓮𝓼 𝓥𝓮𝓬𝓽𝓸𝓻𝓲𝓮𝓵𝓼 𝓐𝓾𝓽𝓸𝓻𝓮𝓰𝓻𝓮𝓼𝓼𝓲𝓯𝓼 (𝓥𝓐𝓡) :

𝗦𝗽é𝗰𝗶𝗳𝗶𝗰𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻𝘀 𝗚𝗹𝗼𝗯𝗮𝗹𝗲𝘀 :

𝗩𝗮𝗿𝗶𝗮𝗯𝗹𝗲𝘀 :Considérons un VAR avec trois variables - Ventes, Publicité et Stocks.

Ordre du modèle : VAR(2) pour capturer les relations jusqu'à deux périodes temporelles en arrière.

É𝗾𝘂𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝘂 𝗠𝗼𝗱è𝗹𝗲 𝗘𝘀𝘁𝗶𝗺é :

Ventes(t) = 0.75 * Ventes(t-1) + 0.25 * Publicité(t-1) + 0.1 * Stocks(t-1) + ε(t)

Publicité(t) = 0.5 * Ventes(t-1) + 0.2 * Publicité(t-1) + 0.05 * Stocks(t-1) + ε(t)

Stocks(t) = 0.2 * Ventes(t-1) + 0.1 * Publicité(t-1) + 0.8 * Stocks(t-1) + ε(t)

𝗜𝗻𝘁𝗲𝗿𝗽𝗿é𝘁𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝗲𝘀 𝗖𝗼𝗲𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝘁𝘀 :

𝐕𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬(𝐭): Le coefficient de 0.75 indique que chaque unité supplémentaire de ventes à la période précédente contribue à 0.75 unité de ventes à la période actuelle.

Les coefficients de Publicité(t-1) et Stocks(t-1) suivent une logique similaire.

𝐏𝐮𝐛𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭é(𝐭): L'effet de Publicité(t-1) est plus fort (0.5) sur Publicité(t) que l'effet de ventes passées.

𝐒𝐭𝐨𝐜𝐤𝐬(𝐭): Les ventes passées (0.2) et la publicité passée (0.1) influent positivement sur Stocks(t).

2. 𝓜𝓸𝓭è𝓵𝓮𝓼 𝓥𝓮𝓬𝓽𝓸𝓻𝓲𝓮𝓵𝓼 à 𝓒𝓸𝓻𝓻𝓮𝓬𝓽𝓲𝓸𝓷 𝓭'𝓔𝓻𝓻𝓮𝓾𝓻 (𝓥𝓔𝓒) :

𝗦𝗽é𝗰𝗶𝗳𝗶𝗰𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻𝘀 𝗚𝗹𝗼𝗯𝗮𝗹𝗲𝘀 :

𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 : PIB et Investissement.

𝐎𝐫𝐝𝐫𝐞 𝐝𝐮 𝐦𝐨𝐝è𝐥𝐞 : VEC(1) pour incorporer une correction d'erreur.

É𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐮 𝐌𝐨𝐝è𝐥𝐞 𝐄𝐬𝐭𝐢𝐦é :

ΔPIB(t) = 0.8 * ΔPIB(t-1) + 0.2 * ΔInvestissement(t-1) + 0.1 * ECM(t-1) + ε1(t)

ΔInvestissement(t) = 0.4 * ΔPIB(t-1) + 0.6 * ΔInvestissement(t-1) + 0.1 * ECM(t-1) + ε2(t)

𝗧𝗲𝗿𝗺𝗲 𝗱𝗲 𝗖𝗼𝗿𝗿𝗲𝗰𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱'𝗘𝗿𝗿𝗲𝘂𝗿 (𝗘𝗖𝗠) :ECM(t-1) = PIB(t-1) - β * Investissement(t-1) + u(t-1)

É𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐋𝐨𝐧𝐠 𝐓𝐞𝐫𝐦𝐞 :PIB(t) = α + β * Investissement(t) + γ * ΔPIB(t-1) + δ * ΔInvestissement(t-1) + ε(t)

𝗜𝗻𝘁𝗲𝗿𝗽𝗿é𝘁𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝗲𝘀 𝗖𝗼𝗲𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝘁𝘀 :

Δ𝐏𝐈𝐁(𝐭):Un coefficient de 0.8 signifie que 80% de l'ajustement vers l'équilibre après un choc se produit chaque période.

Δ𝐈𝐧𝐯𝐞𝐬𝐭𝐢𝐬𝐬𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭(𝐭):L'effet du choc est plus étalé sur deux périodes (0.6) pour l'investissement que pour le PIB.

𝐄𝐂𝐌(𝐭-𝟏):Le terme de correction d'erreur mesure la vitesse d'ajustement vers l'équilibre à long terme après un écart.

É𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐋𝐨𝐧𝐠 𝐓𝐞𝐫𝐦𝐞 :β mesure l'effet à long terme de l'investissement sur le PIB.

𝐃𝐨𝐧𝐧é𝐞𝐬 𝐑é𝐞𝐥𝐥𝐞𝐬 – 𝐌𝐨𝐝è𝐥𝐞 𝐕𝐄𝐂 :

É𝗾𝘂𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝘂 𝗠𝗼𝗱è𝗹𝗲 𝗘𝘀𝘁𝗶𝗺é 𝘀𝘂𝗿 𝗗𝗼𝗻𝗻é𝗲𝘀 𝗥é𝗲𝗹𝗹𝗲𝘀 :

ΔChômage(t) = 0.5 * ΔChômage(t-1) + 0.3 * ΔConsommation(t-1) + 0.1 * ECM(t-1) + ε1(t)

ΔConsommation(t) = 0.1 * ΔChômage(t-1) + 0.7 * ΔConsommation(t-1) + 0.1 * ECM(t-1) + ε2(t)

𝗧𝗲𝗿𝗺𝗲 𝗱𝗲 𝗖𝗼𝗿𝗿𝗲𝗰𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱'𝗘𝗿𝗿𝗲𝘂𝗿 (𝗘𝗖𝗠) :

ECM(t-1) = Chômage(t-1) - β * Consommation(t-1) - α

É𝗾𝘂𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝗲 𝗟𝗼𝗻𝗴 𝗧𝗲𝗿𝗺𝗲 :Chômage(t) = α + β * Consommation(t) + γ * ΔChômage(t-1) + δ * ΔConsommation(t-1) + ε(t)

𝗜𝗻𝘁𝗲𝗿𝗽𝗿é𝘁𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝗲𝘀 𝗖𝗼𝗲𝗳𝗳𝗶𝗰𝗶𝗲𝗻𝘁𝘀 𝘀𝘂𝗿 𝗗𝗼𝗻𝗻é𝗲𝘀 𝗥é𝗲𝗹𝗹𝗲𝘀 :

Δ𝐂𝐡ô𝐦𝐚𝐠𝐞(𝐭):50% de l'ajustement vers l'équilibre se produit chaque période après un choc.

Δ𝐂𝐨𝐧𝐬𝐨𝐦𝐦𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧(𝐭): L'effet du choc est plus étalé sur deux périodes (0.7) pour la consommation que pour le chômage.

𝗘𝗖𝗠(𝘁-𝟭):Le terme de correction d'erreur mesure la vitesse d'ajustement vers l'équilibre à long terme après un écart.

É𝗾𝘂𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻 𝗱𝗲 𝗟𝗼𝗻𝗴 𝗧𝗲𝗿𝗺𝗲 :β mesure l'effet à long terme de la consommation sur le chômage.

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